Naçizane

İSTATİSTİKÃŽ BAĞIMSIZLIK KAVRAMI ÜZERİNE

11 Mins read
Naçizane

İSTATİSTİKÃŽ BAĞIMSIZLIK KAVRAMI ÜZERİNE

11 Mins read

                           Giriş

İstatistikî bağımsızlık kavramı, Olasılık Teorisi bünyesi dahilinde ve istatistikî analiz sürecinde sonuca ulaşmayı oldukça kolaylaştıran, işlemleri pürüzsüzleştiren bir durumdur. Karmaşık yapıların istatistikî analizinde sıkça varsayılır.

Günümüzde rastgelelik/olasılığın vizyon kazandırdığı birçok alanda (Oyun Teorisi, Güvenilirlik, İstatistikî Süreç Kontrolü, vb.) bağımsızlık varsayımı altındaki analizler doyuma ulaşmış; değişebilirlik, Markov tipi bağımlılık yahut rastgele bağımlılık gibi daha genel kavramlar göz önünde bulundurulmaya başlanmıştır. Bağımsızlık kavramı ve getirdiği kolaylık anlaşılmadan bilimin gittikçe daha çok dikkate aldığı ve gerçek hayatın, tabiatın, kainatın ve insanın gerçekliklerini gittikçe daha başarılı bir şekilde açıklayan daha genel ve gerçekçi bağımlılık durumları kavranamaz.

Bu makalede olayların istatistikî bağımsızlığı bir örnek soru üzerinden anlatılmıştır. Sorunun çözümü iki yoldan yapılmış ve yöntemler arası benzerlikler okuyucunun takdirine bırakılmıştır. Makalenin son kısmında bağımlılık durumuna değinilmiş, bu durum iki örnek soru ile somutlaştırılmıştır.

Makalede sunulan üç sorunun ilki literatürde var olup diğer ikisi (azalan üç kap sorusu ve artan üç kap sorusu) yazar tarafından düşünülmüştür. Bu üç soruya önce okuyucu tarafından zaman ayırılıp emek harcanması, daha sonra cevabın görülmesi yazar tarafından tavsiye edilir.

 

 

 
Soru (Üç Kutu Sorusu): Bir yarışma programında yarışmacı olduğunuzu düşünün. Karşınızda ikisi boş, birinde büyük ödül olan üç adet kutu var. Hangi kutunun dolu olduğunu elbette bilmiyorsunuz ama yarışmanın sunucusu büyük ödülün hangi kutuda olduğunu biliyor. Yarışma iki etaptan oluşuyor: ilk etapta bir kutu seçiyorsunuz ve sunucu ikinci etapta boş kutulardan birini atıyor, kalan iki kutudan tekrar birini seçeceksiniz. İlk etapta seçmiş olduğunuz kutuyu ikinci etapta değiştirme hakkınız var. Soru şu: bu aşamada seçtiğiniz kutuyu değiştirir misiniz, yoksa sabit mi kalırsınız? Bu oyunda stratejinizi ilk etaptaki seçiminizde sabit kalmak olarak mı, ilk eldeki seçiminizi değiştirmek olarak mı belirlersiniz? Hangi stratejide büyük ödülü kazanma olasılığınız daha yüksektir?

1. Olasılık Teorisi Çözümü

Öncelikle sorunun çözümünde faydalanacağımız bazı ön bilgileri verelim. Bir olayın olup olmaması, bir başka olayın olup olmaması üzerine herhangi bir şekilde etki yapmıyorsa bu iki olay bağımsızdır, denir. Matematiksel olarak bu durum şartlı olasılık tanımı üzerinden yapılan basit bir operasyon sonucu şu şekilde ifade edilir: 

Tanım-1 (İki Olayın Bağımsızlığı):  (S, F, P) bir olasılık uzayı olsun. A ve B, S’in bütün altkümeleri üzerinde tanımlanan sigma cebir olan F ailesinin elemanları, yani olaylar olmak üzere eğer

P(AB)=P(A)P(B)

eşitliği sağlanıyorsa A ve B olayları bağımsızdır.

 

Sorumuza genel mantık çerçevesinden bir bakalım ve kıyaslamamız istenen stratejiler ile olaylarımızı tanımlayalım.

A1: İlk elde dolu kutuyu bulma olayı.

A2: İlk elde boş kutuyu bulma olayı.

B: İkinci elde dolu kutuyu bulma olayı.

S1: Sabit kalma stratejisiyle büyük ödülü kazanma olayı. (Her iki elde de dolu kutuyu bulma)

S2: Değiştirme stratejisiyle büyük ödülü kazanma olayı. (İlk elde boş, ikinci elde dolu kutuyu bulma)

 

Sorumuzu bu şekilde matematik diline tercüme ettikten sonra matematikçe cümleler kurarak onu kolayca çözebiliriz.

İlk etaptaki dolu/boş kutuyu bulma olayı ile ikinci elde dolu kutuyu bulma olayı birbirinden bağımsızdır. Bu ifadenin doğruluğu çok açıktır, zira ilk etapta dolu kutu da boş kutu da seçilse ikinci etapta dolu kutuyu bulma olasılığımız 1/2 ‘dir. İlk eldeki seçimimiz ne olursa olsun ikinci elin başında sunucu boş kutuyu yarışmadan çıkarmış ve biz bir adet dolu ve bir adet boş kutuyla karşı karşıya kalmışızdır. Yarışmanın ilk etabında ne seçersek seçelim ikinci etapta bir dolu, bir boş kutuyla karşı karşıya olduğumuz için ilk etaptaki seçim ikinci etaptaki doluya ulaşma olasılığını etkilemez. Sorumuzun kombinatorik çözümü (ikinci bölümde verilecektir) bu iddiamızı yukarıda verdiğimiz tanım çerçevesinden de ispatlamaktadır.

Sabit kalma stratejisiyle büyük ödüle ulaşma olayımız, her iki etapta da dolu kutuyu bulma olayı olarak tanımlandığından dolayı ve iki etaptaki doluyu bulma olaylarının bağımsızlığından dolayı aşağıdaki eşitliği yazabiliriz:

 P(S1)=P(A1)P(B)

=1/3 . 1/2

=1/6

Şimdi değiştirme stratejimize bakalım. Bu stratejinin yörüngesi ilk etapta boş kutuyu, ikinci etapta dolu kutuyu bulmaktır. Yine bu olayların bağımsızlığından:

 P(S2)=P(A2)P(B)

=2/3 . 1/2

=2/6

 

Değiştirme stratejisiyle hareket edildiği takdirde büyük ödülü kazanma olasılığının, sabit kalma stratejisini izleyerek büyük ödülü kazanma olasılığının iki katı olduğu görülmüş ve değiştirme stratejisi ödüle ulaşmada daha mantıklı görülmüştür. (Yazımızın devamındaki bağımlılık durumunda işimize yarayacak bir sonuç: Oyunu kazanma olasılığımız [1/6+2/6=1/2], oyunun ikinci etabında dolu kutu bulma olasılığına eşittir.)


2. Kombinatorik Çözüm

Kutularımızı boş (b) ve dolu (d) olarak adlandıralım. Oyunun ilk etabında yanyana duran üç kutunun görünümü şu şekildedir:

         b – b – d

İkinci etapta boş kutulardan biri iptal edildikten sonra oyunun bu basamağının görünümü şu şekilde olur:

           b – d

Şimdi sabit kalma (S1) ve değiştirme (S2) stratejilerimizi aynı şekilde kodlayalım: (İki bileşenden oluşman vektörler olan bu stratejilerin birinci hanesi ilk etaptaki seçimi, ikincisi ikinci etaptaki seçimi ifade etmektedir) 

        S1 : (d, d)

        S2 : (b, d)

Bu stratejilerin olasılıkları, kapsadıkları kombinasyon sayısının bütün muhtemel kombinasyonların sayısına oranıdır. Bütün eylem kombinasyonlarını yazalım. (Eylemler, ilk etaptaki bir kutunun seçimi ve ikinci etaptaki bir kutunun seçiminden oluşan iki elemanlı vektörlerdir. Bunların bir araya gelerek oluşturduğu kümeye eylem uzayı [E] denir.)

E={(b, b), (b, d), (b, b), (b, d), (d, b), (d, d)}

 

S1 stratejisinin, bütün muhtemel kombinasyonlar kümesinin yalnızca bir elemanına (d, d) denk düştüğünü görmekteyiz, dolayısıyla:

P(S1)=1/6

S2 stratejisi ise eylem uzayında iki kez tekrarlanan bir sonucun (b, d) oluşturduğu kümedir, dolayısıyla:

P(S2)=2/6

Kombinatorik yöntemle ulaştığımız sonuç da bize değiştirme stratejisinin, sabit kalma stratejisinden daha yüksek ihtimalle büyük ödülü kazandırdığını göstermiştir.

 
Bağımlılık Durumu


Örnek-1: Eksilen Üç Kap Sorusu

Üç kutu sorusunu ufak bir değişiklikle şu şekilde soralım: Yarışma yine iki etap üzerinden oynanıyor. Bu sefer dolu kutuyu siz de bilmiyorsunuz, sunucu da bilmiyor. Oyunun kuralı da farklı; ilk etapta seçtiğiniz kutu ikinci etapta atılıyor. Kalan iki kutu arasından bir seçim yapacaksınız. Bu durumda büyük ödülü kazanma olasılığınız nedir? 

Sorunun bu halinde ilk etapta yaptığımız seçimin, ikinci etabı etkilediğini görmekteyiz. İlk etapta seçtiğimiz kutu dolu ise ikinci etapta iki boş kutuyla karşı karşıyayız demektir ve ödülü kazanma ihtimalimiz sıfırdır. İlk etapta seçtiğimiz kutu boş ise ikinci etapta dolu kutuyu seçersek kazanacak, boş kutuyu seçersek kaybedeceğiz. Dolayısıyla kazanmak için tek strateji izlemek gerekir; ilk elde boş kutu, ikinci elde dolu kutu bulmak. Eğer -yanılarak- bağımsızlık durumunda olduğu gibi bir hesap yapacak olsaydık, aşağıdaki eşitliği yazacaktık:

P(oyunu kazanma) = P(ilk elde boş kutu seçme)P(ikinci elde dolu kutu seçme)

İkinci elde dolu kutu seçme olayının aslında oyunu kazanmak demek olduğuna dikkat edilirse bu durumda yukarıdaki eşitlikte ilk elde boş kutu seçme olasılığının 1 olması gerektiği, yani bu olayın kesin olduğu sonucuna varacaktık! Bu sonucun yanlışlığı ise Güneş’in siyah oluşu iddiası kadar büyük bir yanlıştır. Çözüme kombinatorik yöntemle bakmak istersek oyunun şu şekilde resmedilebildiğini görmeliyiz:

İlk etaptaki durum:                                               b – b – d

İkinci etaptaki durum:

                                                            * İlk elde b seçmişsek: b – d

                                                            * İlk elde d seçmişsek: b – b

İlk elde boş olabilecek iki adet kutu olduğu dikkate alınarak, eylem uzayımız şu şekilde yazılır:

                                                      E={(b,b),(b,d),(b,b),(b,d),(d,b),(d,b)}

Oyunu kazanma olasılığımızın 2/6 olduğu görülür ki bu sonuca Tanım-1’de verilen eşitlikle ulaşmanın olasılığı sıfırdır.

Örnek-2: Artan Üç Kap Sorusu

Şimdi de üç kutu sorusunu bir başka haliyle gözümüzde canlandıralım: İlk elde üç kutu var, kutuların hangisinin dolu ya da boş olduğunu biz bilmiyoruz ama sunucu biliyor. İkinci elde oyuna, ilk elde seçtiğimiz kutunun aynısından bir tane daha ekleniyor. Yani ilk elde seçtiğimiz kutu doluysa sunucu ikinci el önümüze bir dolu kutu daha koyacak, yani ikinci elde önümüzde ikisi boş, ikisi dolu dört kutu olacak. Artan üç kap sorusunda da ikinci elde, ilk eldeki seçimimizi değiştirme ya da onda ısrar etme özgürlüğümüz var. Soralım: bu oyunda sabit kalma stratejisi mi, değiştirme stratejisi mi tercih edilmelidir?

Bu yazıyı okumamış ve istatistikî bağımsızlığın ne demek olduğunu hiç bilmeyen biri olalım bir an, ve büyük bir yanlış yaparak yazalım:

P(S1)=P(A1)P(B)            

                                                                                                                                     …(2)

Dikkat edilmelidir ki, ikinci elde dolu bir kutu bulduğumuz zaman oyunu kazanmış oluyoruz. Yani ikinci elde dolu kutu bulma olayı (B) ile oyunu kazanma olayımız (S1 ile S2 nin birleşim kümesi [çünkü oyunu kazanmak için izlenebilecek iki ve yalnız iki strateji vardır -ki onların birleşimi oyunu kazanma olayını oluşturur.]) eşit  olasılıkla gerçekleşir. O halde yukarıdaki denklemimiz (2)  şu  şekle dönüşür:

P(S1)=P(A1)P(S1 u S2)

Oysa ki P(S1 u S2)>P(S1) eşitsizliğinin kesinliğinden dolayı (2) numaralı denklemi bu durumda kullanamayacağımız aşikardır.

Bu oyunun strateji karşılaştırma sorusunun cevabı öncekilerde olduğu gibi basit bir kombinatorik analiz ile şu şekilde bulunur:

P(B)=4/12 & P(S1)=2/14 & P(S2)=2/14

Bu oyunda değiştirme stratejisi ile sabit kalma stratejisi arasında gerçekleşme olasılığı açısından hiçbir fark olmadığı görülür.

 

Sonuç

Tanım-1’de ifade edilen bağımsız olayların olasılığının hesap yöntemi, ilk sorunun çözümünde sunulan kombinatorik yöntem tarafından da desteklenmiş olup, sorumuz bu oyunda ilk etapta seçilen kutunun ikinci etapta değiştirilmesinin, sabit tutulmasından daha yüksek ihtimalle büyük ödülü kazandırdığı şeklinde cevaplanmıştır. İlk etaptaki doğruya ulaşma olayının, ikinci etaptaki doğruya ulaşma olayından bağımsız olduğu şeklindeki düşüncemiz olasılık teorisi mantığı ile işlenmiş, kombinatorik yöntemce de ispatlanmıştır. Üç kutu sorusunun yeni hallerinde ise etaplar arası dolu kutuyu bulma olayları bağımsız değildir, dolayısıyla bağımsızlık durumunda sonuca götüren eşitlik (Tanım-1) bu durumda kullanılamamaktadır.

 
Kaynakça 

Ross, S.(2002) A First Course In Probability, 6th ed. Prentice Hall Inc. USA, Upper Saddle River, New Jersey

Bir Cevap Yazın

%d blogcu bunu beğendi: